古代バビロニアの土地測量士がギリシャ人の1,000年前に独自の形の三角法をどのように開発したか

UNSWシドニー上級講師

ダニエル・マンスフィールドは、この記事から利益を得るであろういかなる企業や組織にも勤務したり、コンサルティングしたり、株を所有したり、資金を受け取ったりすることはなく、学術上の任命以外に関連する所属を明らかにしていません。

UNSW シドニーは、The Conversation AU のメンバーとして資金を提供しています。

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私たちの現代の三角法理解は、夜空を通る天体の動きを研究した古代ギリシャの天文学者に遡ります。

しかし、2017年に私は、古代バビロニア人がギリシャ人より1,000年以上前に独自の「原三角法」を開発した可能性があることを示しました。 では、なぜバビロニア人は直角三角形に興味を持ったのでしょうか? 彼らは何にそれらを使用したのでしょうか？

私はここ数年、それを知るために費やしてきました。 本日『Foundation of Science』に掲載された私の研究は、その答えが目に見えないところに隠されていることを示しています。

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何千もの粘土板が、現在のイラクにある古代バビロンの失われた都市から回収されました。 これらの文書は何千年もの間、砂漠の下に保存されていました。 発見されると、それらは博物館、図書館、個人のコレクションに侵入しました。

その一例は、測量士による圃場の計画を描いた、約 3,700 年前の地籍調査 Si.427 です。 これは、1894 年のフランスの考古学遠征中にバグダッドの南西にあるシッパルでジャン・ヴァンサン・シャイル神父によって発掘されました。 しかし、当時はその重要性が理解されていませんでした。

トルコのイスタンブール・アルケオロジ・ムゼレリ（イスタンブール考古学博物館）に数十年間保管され、現在展示されているSi.427は、実際、古代世界の応用幾何学の最も古い例の1つであることが判明した。 何が特別なのかを見てみましょう。

古代バビロニア人も今日の私たちと同じように土地を大切にしていました。 初期の頃、広大な農地は寺院や宮殿などの施設によって所有されていました。

専門の測量士がこれらの畑を測定して、収穫量を推定します。 しかし、彼らはフィールドの境界を確立しませんでした。 これらの強力な機関は、自分たちが何を所有しているかを知らせる測量士や他の誰かを必要としなかったようです。

土地所有権の性質は、紀元前 1900 年から 1600 年までの古バビロニア時代に変化しました。 大規模な組織的フィールドではなく、より小さなフィールドを一般の人々が所有できるようになりました。

この変化は土地の測定方法に影響を与えました。 機関とは異なり、個人の土地所有者は境界線を設定し紛争を解決するために測量士を必要としていました。

正確な測量の必要性は、測量士になることを学ぶ学生の喧嘩に関する古バビロニアの詩からも明らかです。 上級生は次のように後輩を戒めます。

プロットを分割しようとしても、プロットを分割できません。 畑を分配しようとしても、テープやロッドを正しく持つことさえできません。 設置できないフィールドペグ。 あなたはその形を理解することができないので、不当な扱いを受けた人々が口論しても平和をもたらすことはできませんが、兄弟が兄弟を攻撃することを許可します。 律法学者の中で、あなた（一人）が粘土に適さないのです。

この詩ではテープとロッドについて言及していますが、これは標準的なバビロニアの測量ツール、つまり測定ロープとユニットロッドへの言及です。 これらは古代バビロンでは公平と正義の象徴として尊敬されており、女神や王の手元にあることがよく見られました。

バビロニアの測量士はこれらのツールを使用して、土地を扱いやすい形状 (長方形、直角三角形、直台形) に分割しました。

以前は、測量士は境界を設定する必要がある前に、単純に農業推定を行っていました。 したがって、当時の 90 度の角度は適切な近似値ではありましたが、決して完全に正しいわけではありませんでした。

古バビロニアの地籍調査 Si.427 には、Sîn-bêl-apli として知られる個人から購入した小さな土地区画の境界が示されています。

いくつかの湿地帯があり、非常に注意深く測定されているため、重要なものであったに違いありません。 バビロニアの測量士にとっては、普通の一日の仕事のようですね。 しかし、Si.427 には非常に明確な何かがあります。

以前の調査では、90 度の角度は単なる近似値でしたが、Si.427 ではコーナーは正確に 90 度です。 測定ロープとユニットロッドだけを持っている人が、どうやってこれほど正確な直角を作ることができるのでしょうか? さて、ピタゴラストリプルを作ることによって。

ピタゴラスのトリプルは、ピタゴラスの定理を満たす単純な寸法を持つ特別な種類の直角三角形 (または長方形) です。 組み立てが簡単で、理論的には完璧な直角を持っています。

ピタゴラスのトリプルは、おそらく紀元前 800 年まで遡り、長方形の火の祭壇を作るために古代インドで使用されました。 Si.427 を通じて、紀元前 1900 年まで遡り、古代バビロニア人が正確な土地測定を行うためにそれらを使用していたことがわかっています。

Si.427 には 1 つではなく 3 つのピタゴラス トリプルが含まれています。

Si.427 は、古バビロニア時代の他の石板を理解するのにも役立ちました。

すべてのピタゴラスのトリプルがバビロニアの測量士にとって有用だったわけではありません。 ピタゴラス トリプルが役立つのは、その辺です。 具体的には、辺は「規則的」である必要があります。これは、辺を任意の長さに拡大または縮小できることを意味します。 通常の数には、2、3、5 以外に素因数はありません。

プリンプトン 322 は、別の古代バビロニアのタブレットで、現代の三角関数表に似たピタゴラス トリプルのリストが記載されています。 現代の三角関数表には、各辺の比率 (sin、cos、tan など) がリストされています。

しかし、これらの比の代わりに、プリンプトン 322 は、ピタゴラス トリプルのどの辺が正則であるかを示し、したがって測量に役立ちます。 これが、一部のピタゴラス トリプルが使用でき、他のピタゴラス トリプルが使用できない理由を知りたい純粋な数学者によって作成されたものであることは容易に想像できます。

あるいは、プリンプトン 322 は、特定の実際的な問題を解決するために作られた可能性もあります。 著者の真の意図を知ることは決してありませんが、おそらくこれら 2 つの可能性の間のどこかにあるでしょう。 私たちが知っていることは、バビロニア人はピタゴラスのトリプルについて独自の理解を発展させたということです。

この「原三角法」は、古代ギリシャの天文学者によって開発された三角法に相当します。 しかし、それは、夜空ではなく陸地を眺めていたバビロニアの測量士たちが直面した問題に応じて開発されたものであるため、異なります。

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